Quiz con le monete

[apollonia]

Siete bendati e avete davanti a voi sul tavolo 10 monete che potete toccare senza però distinguere il diritto dal rovescio. Sapete che 5 monete hanno il diritto rivolto verso l’alto e le altre 5 il rovescio rivolto verso l’alto.

La domanda è se, restando bendati, è possibile dividere le monete in due gruppi contenenti lo stesso numero di monete con il diritto rivolto verso l’alto, avendo la possibilità di capovolgere le monete un numero qualsiasi di volte.

[apollonia]

La risposta si può trovare “sperimentalmente” mettendo sul tavolo 5 monete con il diritto rivolto verso l’alto (monete D) e 5 monete con il rovescio rivolto verso l’alto (monete R), dividendole a caso in due gruppi (9 a 1, 8 a 2, 7 a 3, 6 a 4, 5 a 5) e capovolgendo le monete di un gruppo. Il risultato è indipendente dal numero di monete D e R presenti nei due gruppi e dal gruppo delle monete che capovolgete. Quindi con cinque tentativi potete vedere con quale distribuzione il capovolgimento determina lo stesso numero di monete D nei due gruppi.

[apollonia]

Vi sono tre scatole identiche di cui quella etichettata AU contiene monete d’oro, quella etichettata AG monete d’argento e quella etichettata AU+AG monete d’oro e d’argento.

Le etichette sono state scambiate in modo che nessuna di esse corrisponde al contenuto effettivo della scatola. La risposta è se aprendo una sola scatola e guardando solo una moneta estratta è possibile scoprire il contenuto delle altre due scatole.

[vv64]

Il 7/10/2020 alle 19:04, apollonia dice:

Vi sono tre scatole identiche di cui quella etichettata AU contiene monete d’oro, quella etichettata AG monete d’argento e quella etichettata AU+AG monete d’oro e d’argento.

Le etichette sono state scambiate in modo che nessuna di esse corrisponde al contenuto effettivo della scatola. La risposta è se aprendo una sola scatola e guardando solo una moneta estratta è possibile scoprire il contenuto delle altre due scatole.

Sì, è possibile.

Aprendo la scatola con etichetta AG+AU, che prima dello scambio di etichette poteva essere AG (caso 1) oppure AU (caso 2), ed estraendo una moneta si capisce se si è nel caso 1 o 2.
Supponendo di essere nel caso 1, ovvero che dalla scatola si estragga una moneta di argento, la scatola con etichetta AU, che in generale può corrispondere sia ad AG sia ad AG+AU, corrisponde ad AG+AU, e quindi la scatola con etichetta AG corrisponde ad AU.
Il ragionamento nel caso 2 è analogo.

quindi, riassumendo:

caso 1
AG+AU -> AG
AU    -> AG+AU
AG    -> AU

caso 2
AG+AU -> AU
AG    -> AG+AU
AU    -> AG      

[apollonia]

Giusto vv64 .

La scatola da scegliere è quella con l’etichetta AG+AU e dalla moneta estratta si può risalire al contenuto delle altre due scatole, tenendo presente che la loro etichetta non dice la verità circa il rispettivo contenuto.

Riguardo al quiz precedente delle 10 monete, darò io la risposta visto che nessuno l’ha trovata (o voluto cercarla).

Alla prossima.

apollonia

[vv64]

17 minuti fa, apollonia dice:

Giusto vv64 .

La scatola da scegliere è quella con l’etichetta AG+AU e dalla moneta estratta si può risalire al contenuto delle altre due scatole, tenendo presente che la loro etichetta non dice la verità circa il rispettivo contenuto.

Riguardo al quiz precedente delle 10 monete, darò io la risposta visto che nessuno l’ha trovata (o voluto cercarla).

Alla prossima.

apollonia

Dividendo le monete in due gruppi di 5 e capovolgendo tutte quelle di uno dei due gruppi si ottiene il risultato voluto

[apollonia]

Questo problema sulla pesata è un po' più difficile dei precedenti perché non viene specificato se la moneta falsa è più pesante o più leggera di quelle autentiche.

Hai nove monete d'oro che sembrano esattamente uguali ma una di esse è falsa ed è più leggera o più pesante delle altre. Disponi di una bilancia a due piatti ma puoi caricarla solo due volte. Come trovi la moneta falsa?

[ARES III]

Il 10/10/2020 alle 01:23, apollonia dice:

ma una di esse è falsa ed è più leggera o più pesante delle altre

1)L'oro non è il metallo più pesante di solito rispetto agli altri usati comunemente nelle leghe ?

2) Quindi la nostra moneta falsa dovrebbe essere per forza più leggera, in quanto il peso specifico dell'oro è 19,25. A meno che la moneta falsa sia in platino, quindi più pesante dell'oro (peso specifico 21,40). Ma non credo che esistano monete false in platino!

3) mettiamo su un piatto 4 monete e sull'altro ugual numero di monete.

Se i piatti sono in equilibrio la moneta falsa è quella non pesata e messa da una parte. Se i piatti sono sfasati il piatto più pesante conterrà 4 monete in oro mentre quello più leggero quello con la moneta falsa.

Ora ripesiamo le 4 monete che contengono quella falsa e disponiamole  a due a due su entrambi i piatti. Il piatto più leggero conterrà la moneta falsa.

Purtroppo io farei una terza pesatura con le ultime due monete e alla fine si individua la moneta falsa.

Lo so @apolloniache ho sfora il numero di pesature ma questa sarebbe la strada più semplice anche se irregolare.

[apollonia]

Il quiz chiede di identificare la moneta falsa sapendo che ha un peso diverso da quelle autentiche (non necessariamente se è pIù leggera o più pesante di esse) potendo caricare non più di due volte una bilancia a due piatti.

In pratica il primo caricamento permette di selezionare una moneta vera e la moneta falsa dal peso diverso.

Il secondo caricamento permette di stabilire quelle delle due è falsa confrontando il peso di una di esse con quello di una moneta autentica.

Per trovare le due monete utili con il primo caricamento, si mettono 4 monete su un piatto e 4 monete sull’altro piatto della bilancia, lasciandone una a parte.

È chiaro che se i piatti restano in equilibrio, la moneta falsa è quella a parte che viene così identificata con un solo caricamento.

Se invece i piatti non sono in equilibrio, si procede togliendo una moneta da un piatto e una dall’altro: se i piatti non sono ancora in equilibrio, si uniscono le monete tolte (autentiche) e si effettua un ulteriore prelievo finchè i piatti restano in equilibrio. In questo caso sappiamo di avere tolto una moneta vera e la moneta falsa, che possiamo trovare con il secondo caricamento (una delle monete vere che abbiamo a disposizione su un piatto, una delle due prelevate sull’altro: se il peso è uguale la moneta falsa è quella non pesata, se il peso diverso è quella pesata).

Se la bilancia non è in equilibrio con le ultime due monete sui piatti (quindi dopo tre prelievi), se ne prende una e si confronta il peso con quello di una moneta autentica nota con il secondo caricamento.

[vv64]

10 ore fa, apollonia dice:

Il quiz chiede di identificare la moneta falsa sapendo che ha un peso diverso da quelle autentiche (non necessariamente se è pIù leggera o più pesante di esse) potendo caricare non più di due volte una bilancia a due piatti.

In pratica il primo caricamento permette di selezionare una moneta vera e la moneta falsa dal peso diverso.

Il secondo caricamento permette di stabilire quelle delle due è falsa confrontando il peso di una di esse con quello di una moneta autentica.

Per trovare le due monete utili con il primo caricamento, si mettono 4 monete su un piatto e 4 monete sull’altro piatto della bilancia, lasciandone una a parte.

È chiaro che se i piatti restano in equilibrio, la moneta falsa è quella a parte che viene così identificata con un solo caricamento.

Se invece i piatti non sono in equilibrio, si procede togliendo una moneta da un piatto e una dall’altro: se i piatti non sono ancora in equilibrio, si uniscono le monete tolte (autentiche) e si effettua un ulteriore prelievo finchè i piatti restano in equilibrio. In questo caso sappiamo di avere tolto una moneta vera e la moneta falsa, che possiamo trovare con il secondo caricamento (una delle monete vere che abbiamo a disposizione su un piatto, una delle due prelevate sull’altro: se il peso è uguale la moneta falsa è quella non pesata, se il peso diverso è quella pesata).

Se la bilancia non è in equilibrio con le ultime due monete sui piatti (quindi dopo tre prelievi), se ne prende una e si confronta il peso con quello di una moneta autentica nota con il secondo caricamento.

In realtà con la procedura descritta le pesate sono in generale più di due, perché togliere monete dai piatti corrisponde ad effettuare un diverso caricamento/pesata.

Con due sole pesate  io non riesco a risolvere il problema, me ne occorrono in generale tre:

Numeriamo le monete da 1 a 9, e indichiamo i piatti come A e B.

Prima pesata. Tre monete per piatto (A: 1,2,3; B:4,5,6).

Caso 1: Piatti in equilibrio (le monete da 1 a 6 sono vere) 
Seconda pesata: A:1,2; B:7,8
Caso 1a: Piatti in equilibrio -> la moneta falsa è la 9. Con la terza pesata posso capire se il peso della 9 è maggiore o minore di quello di una moneta vera.
Caso 1b: Piatti non in equilibrio. A seconda che B pesi meno o più di A capisco se la moneta falsa, che è sul piatto B, ha peso minore o maggiore di una moneta vera.
Terza pesata: A:7; B:8. Dal confronto, e sapendo se la moneta falsa pesa più o meno di una vera, individuo la moneta falsa.

Caso 2: Piatti non in equilibro. La moneta falsa è compresa tra le prime 6 (le monete 7,8,9 sono vere). Supponiamo, senza perdere in generalità,  peso(A) > peso (B).
Seconda pesata: A:1,2,3; B:7,8,9
 

Caso 2a: Piatti in equilibrio. La moneta falsa appartiene all'insieme (4,5,6), e la moneta falsa ha peso minore di una vera.
Terza pesata: A:4; B:5.
Caso 2aa: Piatti in equilibrio. La moneta falsa è la 6.
Caso 2ab: Piatti non in equilibrio: la moneta falsa è quella di peso minore.

Caso 2b: Piatti non in equilibrio. La moneta falsa appartiene all'insieme (1,2,3), e la moneta falsa ha peso maggiore di una vera.
Terza pesata: A:1; B:2.
Caso 2ba: Piatti in equilibrio. La moneta falsa è la 3.
Caso 2bb: Piatti non in equilibrio: la moneta falsa è quella di peso maggiore.

[apollonia]

Il problema parla di caricamento della bilancia nel senso di mettere monete sui piatti, non di pesate o scarico. Almeno così ho inteso la frase del testo: You have a scale - balance type with 2 trays - but can only load it twice.

Indubbiamente, se si parlasse di pesate, ne servirebbero in generale tre.

apollonia

Modificato 12 Ottobre, 2020 da apollonia

[apollonia]

Questo è un quiz che richiede delle pesate e ne fissa il numero.

Ho 27 denari romani indistinguibili uno dall’altro, 26 in buon argento e uno di piombo rivestito d’argento (suberato). Come trovarlo con tre pesate su una bilancia a due piatti?

 

[apollonia]

Tutto ok tranne una cosa: il suberato non è di rame ma di piombo, metallo che ha una densità maggiore dell'argento, e quindi è più pesante delle monete autentiche.

Comunque il procedimento funziona anche con un suberato di rame.

apollonia

[apollonia]

Due collezionisti alle prime armi si incontrano con i loro album e, sfogliandoli, notano che contengono esattamente lo stesso numero di monete. Uno dice all’altro, chiedendo una risposta immediata: “Quante monete ti devo dare perché tu ne abbia 10 più di me?”

Il quiz non è difficile ma bisogna rispettare i tempi della risposta.

[vwgolf]

Buon giorno   5 pz.

[apollonia]

5 ore fa, vwgolf dice:

Buon giorno   5 pz.

Buongiorno e benvenuto.

apollonia

[apollonia]

La soluzione del problema del denario suberato di piombo al post #  66 si può riassumere in queste righe.

Si suddividono le monete in tre gruppi di nove unità ciascuno e con la prima pesata si individua in quale dei tre si trova la moneta più pesante. Si suddividono le monete di quest’ultimo in tre gruppi di tre unità ciascuno e con la seconda pesata si trova in quale dei tre c’è la moneta più pesante. Si suddividono le monete di quest’ultimo in tre gruppi di una moneta ciascuno e con la terza pesata possiamo individuare qual è la moneta più pesante.

Notare che il suberato con il nucleo di piombo, a differenza di quello con il nucleo di rame, è più pesante di una moneta d’argento autentica (naturalmente a parità di volume) perché il piombo ha una densità maggiore dell’argento. Un’idea quantitativa della differenza di peso (a rigore, di massa) dei suberati rispetto a una moneta autentica si può avere da questa tabella:

Una moneta di rame (e in pratica un suberato con il nucleo di rame dato il sottilissimo strato di metallo nobile che lo ricopre) del volume di 1 cm³ pesa circa 9 g, una moneta d’argento dello stesso volume pesa 10,5 g e un suberato di piombo dello stesso volume pesa circa 11,5 g.

[nikita_]

12 ore fa, apollonia dice:

Due collezionisti alle prime armi si incontrano con i loro album e, sfogliandoli, notano che contengono esattamente lo stesso numero di monete. Uno dice all’altro, chiedendo una risposta immediata: “Quante monete ti devo dare perché tu ne abbia 10 più di me?”

Il quiz non è difficile ma bisogna rispettare i tempi della risposta.

 

In effetti la soluzione era facile, ma in base a quanto chiesto era una questione di tempo, praticamente si doveva rispondere solo dopo qualche istante dall'invio del post, avendolo visto solo un paio di ore dopo non ho partecipato.

Modificato 13 Ottobre, 2020 da nikita_

[apollonia]

Negozio di numismatica

Un negoziante compra una moneta per 70 €, la vende per 80 €, poi la ricompra per 90 € e infine la vende ancora per 100 €. Quanto ha guadagnato?

[vv64]

2 minuti fa, apollonia dice:

Negozio di numismatica

Un negoziante compra una moneta per 70 €, la vende per 80 €, poi la ricompra per 90 € e infine la vende ancora per 100 €. Quanto ha guadagnato?

Spende 160 € e ne incassa 180. Guadagna quindi 20 €.

[apollonia]

Le sterline ereditate

Giuseppe ha ereditato dal nonno 50 sterline d’oro e ne ha usato una parte per pagare dei debiti. Precisamente la metà di quelle che gli sono rimaste per il primo debito, il doppio delle rimaste per il secondo debito e 8 sterline per il terzo debito. Quante sterline ha pagato in tutto?

[apollonia]

32 minuti fa, Scudo1901 dice:

20 euro

Sei stato anticipato da vv64 al post # 76.

apollonia

[apollonia]

19 minuti fa, Scudo1901 dice:

38

Primo debito 6 sterline

Secondo debito 24 sterline

Terzo debito 8

Rimangono 12 sterline

 

Questo è tuo!

apollonia

[apollonia]

Le monete negli album

Alfredo dice a Massimo: “Se prendessi 20 monete delle tue, le mie monete diventerebbero il doppio delle tue.”

Massimo dice ad Alfredo: “Se prendessi 20 monete delle tue, le mie monete diventerebbero tante quante le tue.”

Quante sono le monete nell’album di Alfredo e in quello di Massimo?

[vv64]

8 minuti fa, apollonia dice:

Le monete negli album

Alfredo dice a Massimo: “Se prendessi 20 monete delle tue, le mie monete diventerebbero il doppio delle tue.”

Massimo dice ad Alfredo: “Se prendessi 20 monete delle tue, le mie monete diventerebbero tante quante le tue.”

Quante sono le monete nell’album di Alfredo e in quello di Massimo?

Massimo 100 monete, Alfredo 140 monete